43 | 理论理解：动态规划

四点关键：

递归+记忆化 —> 递推
状态的定义:opt[n], dp[n], fib[n]
状态转移⽅程:opt[n] = best_of(opt[n-1], opt[n-2], …)
最优子结构

所谓规划实际上是指递推，可用递归+记忆化推导出递推，不存在规划，不会有什么远至10年后的高瞻远瞩。

例1：剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

递推公式:F[n] = F[n-1] + F[n-2]

递归图解：

fun fib(n: Int): Int {
    if (n <= 1) {
        return n
    }
    return fib(n - 1) + fib(n - 2)
}

这个的问题在于分支太多，时间复杂度为2的 n 次方。需要优化，可以颠倒顺序，从下往上计算：

此时可以看到，从下往上的递推少了很多重复计算。

fun fib(n: Int): Int {
    if (n <= 1) {
        return n
    }
    val f = IntArray(n+1)
    f[0] = 0
    f[1] = 1
    for (i in 2..n) {
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % 1000000007
    }
    return f[n]
}

这里实际上也不需要用数组，只需要保存两个变量即可。

fun fib(n: Int): Int {
    if (n <= 1) return n

    var pre = 0
    var cur = 1

    for (i in 2..n) {
        val res = ( pre + cur ) % 1000000007
        pre = cur
        cur = res
    }

    return cur
}

这里的%操作：看这个回答，为什么很多程序竞赛题目都要求答案对 1e9+7 取模？